几何分析是一门数学学科，使用微分方程（特别是椭圆偏微分方程）中的工具来建立微分几何和微分拓扑的新结果。它是微分几何、微分方程和分析的结合，在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
几何分析的主要研究对象是流形（黎曼流形或复流形）上的偏微分方程。流形是空间的一种抽象化，可以用来描述物理空间、数学空间等。偏微分方程是描述流形上函数变化的方程。
几何分析的主要研究方法是微分方程的解析方法。微分方程的解析方法是用解析函数来表示偏微分方程的解。几何分析利用微分方程的解析方法来研究流形的几何和拓扑性质。
几何分析的研究成果在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。例如，几何分析用于研究物理中的波动理论、流体力学、固体力学等；用于研究工程中的结构分析、控制理论等；用于研究计算机科学中的图形学、计算机视觉等。
- 椭圆偏微分方程的解析解：椭圆偏微分方程是几何分析的基础。几何分析发展了椭圆偏微分方程的解析解的理论，为研究流形的几何和拓扑性质提供了有效的工具。
- 几何流：几何流是流形上函数的一种动力学系统。几何分析用于研究几何流的稳定性、收敛性等问题，为研究流形的几何和拓扑性质提供了新的视角。
- 几何不变量：几何不变量是流形的一种重要性质。几何分析用于研究几何不变量的性质，为研究流形的几何和拓扑性质提供了新的工具。
几何分析是一门基础性的数学学科，具有广阔的应用前景。随着研究的深入，几何分析将在更多领域发挥重要作用。